התחבר באמצעות פייסבוק
חזור אל רשימת השיעורים לכיתה ט'

משפט: קטע אמצעים במשולש שווה למחצית מהגודל של הצלע השלישית

נבנה את תנאי המשפט:

נתון משולש עם קטע אמצעים, כלומר ששתי הנקודות בין קטע האמצעים לצלעות המשולש הן אמצעי הצלעות.

נוריד גובה לצלע השלישית ונקבל שני משולשים ישרי זווית.

כעת, נסמן את נקודות אמצעי הבסיסים של שני המשולשים.

נסמן את כל חצי משני קטעי הבסיס שנוצרו  ב-A , ואת שני החצאים האחרים  ב-B.

נחבר את שתי הנקודות מנקודת השקת הגובה לבסיס לחצאי הצלעות בהתאמה.

כעת נשים לב, ששני הקטעים שנוצרו הם תיכונים במשולש ישר זווית, ולכן לפי משפט שווים לחצי הצלע אותה הם חוצים.

לכן נוצרו פה שני משולשים שווי שוקיים.

כמו כן, נשים לב ששני הקטעים האלה תיכונים במשולשים שווי שוקיים, ולפי משפט גם גבהים.

לפי משפט, קטע אמצעים מקביל לצלע השלישית, ולכן לפי משפט זוויות נגדיות בין מקבילים משלימות ל-180, ולכן זוויות אלה שוות ל-90.

כעת קיבלנו שהמרובע שנוצר בעל 4 זוויות ישרות ולכן הוא מלבן.

לפי תכונות המלבן, שתי צלעות מקבילות שוות, ולכן קטע האמצעים שווה ל-A+B.

הצלע השלישית שווה ל:

2a+2b=2(a+b)

ולכן קיבלנו שקטע האמצעים שווה בדיוק חצי מזה, כנדרש.